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Observation de bras spiraux de la Voie Lactée

Activité 3 :

Observer les bras spiraux dans la Voie Lactée

 

 

Niveau : Lycée (1ère, Terminal).

 

Pré requis : lire attentivement l’introduction : « La radioastronomie à portée de main ».

 

But : Tracer des bras spiraux de la Voie Lactée à l’aide de mesure du gaz HI obtenu grâce a un radiotélescope.

 

Méthode : Dans un premier temps, nous allons mesurer la vitesse radiale de nuages de gaz HI à différentes longitudes. Après avoir établi les relations mathématiques nécessaires, nous exploiterons les données à l’aide du logiciel SalsaJ. Enfin, il suffira de tracer les résultats pour pouvoir observer les bras spiraux dans les deux premiers cadrans galactiques.

 

 

1) Calculs préliminaires

 

 

Imaginons que nous pointons notre radiotélescope vers un nuage de gaz de notre

Galaxie. Dans les figures 1-1 et 1-2, nous voyons que la vitesse réelle d’un nuage (V) fait un angle avec la ligne de visée. Ainsi, nous pouvons mesurer simplement, la projection de la vitesse du nuage sur la ligne de visée. (Vlos) (Line-of-sight).

 

 

activit2-image1
 Fig.1-.1: la vitesse d’un nuage projetée sur la ligne de visée.

 

activit2-image2 

Fig. 1-2: Géométrie de la galaxie.

 

Notations :

 

V0= vitesse du soleil autour du centre galactique

R0 = distance entre le soleil et le centre galactique

l = longitude galactique

V = vitesse d’un nuage de gaz

R = distance entre la nuage et le centre galactique

r = distance entre le soleil et le nuage.

 

Attention, l’angle b de la figure ci-dessus ne doit pas être confondu avec la latitude galactique.

 

Données :

            . R0 = 8.5 kpc      (1 kpc = 3,1.10^16 km)

. V0 = 220 km/s

 

                

" Trouvez l’expression de Vlos en fonction de V, la vitesse réelle du nuage et de J, l’angle entre la ligne de visée et la vitesse du nuage :

 

 

Vlos =...............................

 

 

    Nous observons ce que l’on appelle la vitesse radiale, Vr,  projection de la vitesse d’un nuage sur la ligne de visée (Vlos) moins la projection de la vitesse du soleil sur la ligne de visée. A partir de la figure 2.2, on obtient :

 

      

       Vr = V cos J - V0 sin c                                                    (1.0)

 

 

 

" Trouvez une relation entre les angles c et l (Vous pouvez utiliser la complémentarité des angles dans un triangle), puis réécrivez Vr.

 

 

 

.....................................................................................................................................          (1.1)

 

 

 

" En utilisant la même méthode appliquée au triangle CMT, déterminez une relation entre les angles b et a :

 

 

.....................................................................................................................................

 

 

 

" La droite CM fait un angle droit avec V. En utilisant l’expression ci-dessus pour l’angle b, déterminez une relation entre les angles a et J:

 

 

 

.....................................................................................................................................

 

 

" Nous voulons maintenant remplacer J par les autres variables. En regardant les triangles CST et CMT, exprimez la distance entre le centre galactique (C) et le point tangentiel (T) de deux manières différentes:

 

 

         CT = .......................................=........................................               (1.2)

 

 

 

" Réécrivez maintenant l’expression (1.1) en fonction de V, R, R0, l et V:

 

 

 

.....................................................................................................................................   (1.3)

 

 

            Maintenant, nous aimerions trouver où se situe le gaz HI que nous avons détecté. A la différence du système solaire où les vitesses des planètes suivent les lois de Kepler (V J 1/GR), la distribution des vitesses dans la galaxie est constante à partir d’un certain rayon. Ce phénomène est du à la présence d’un halo de matière noire entourant la Voie Lactée (voir l’activité 2). On peut donc écrire V(R) = constante = V0.

 

" Que devient alors l’équation (1.3) ?

 

 

..................................................................................................................................... 

 

 

" Exprimez alors R en fonction de R0, V0, l et Vr.

 

 

..........................................................................................................................................  (1.4)

 

 

 

Nous voulons faire une carte de la Voie Lactée et placer les nuages que nous avons détectés. Nous avons la longitude galactique l et Vr, la vitesse radiale (mesurée grâce au radiotélescope) ce qui nous permet de déterminer R la distance du nuage au centre de la galaxie.

Cependant pour faire une carte de la Voie Lactée, ce qui nous intéresse est de connaître la distance du nuage de gaz par rapport au Soleil et non par rapport au centre de la galaxie. On cherche donc r (distance Soleil-nuage de gaz).

 

 

 

" En utilisant le théorème d’Al-Kashi dans le triangle CSM, exprimez puis donnez les solutions du polynôme du second degré en r.

 

 

.......................................................................................................................................... 

..........................................................................................................................................  (1.5)

 

 

Il convient ensuite d’analyser la réalité physique de chacune des solutions du polynôme.

Il est trivial que les valeurs négatives de r sont à écarter.

 

Important : Si on obtient deux solutions positives, il nous faudrait plus d’information pour déterminer laquelle est correct. Il faudrait par exemple observer à la même longitude mais à une latitude différente.

 

Vous avez maintenant toutes les formules pour tracer les bras galactiques dans les deux premiers cadrans.

 

2) Exploitation des résultats

 

            Pour une même longitude, plusieurs nuages de gaz peuvent être interceptés par la ligne de visée. Lorsqu’on regarde le spectre radio on observe plusieurs ‘pics’ correspondant à chacun de ses nuages. Ainsi, pour une longitude donnée, il vous faudra relever plusieurs vitesses.

 

 

activit2-image3 

Fig. 2-1 : Spectre radio pour une longitude l = 45°. Chacun des pics correspond à un des nuages croisés par la ligne de visée.

 

 

 

a/ Le logiciel SalsaJ

 

 

            SalsaJ est un logiciel de manipulation et de traitement d’image destiné aux enseignants et aux élèves de collège et lycée. SalsaJ version 1.4 est disponible sur le site www.eu-hou.net section software puis download.   

            Avant tout, commencez par lancer le logiciel SalsaJ. Il se présente sous la forme d’une fenêtre horizontale jaune.

            è Facultatif : Vous pouvez observer la raie spectrale de ‘votrefichier’ en allant dans fichier, ouvrir, votrefichier.fits.

            Pour afficher le spectre radio, faites Analyse, spectre radio...et sélectionnez  le fichier .fits à ouvrir. Une fois la fenêtre ouverte, cliquez sur indiquer échelle et sélectionnez Vitesse. Vous devriez alors voir le spectre radio avec l’intensité en fonction de la vitesse comme sur la figure 2.1. Pour relever les différentes vitesses sur le spectre, il vous suffit de placer le curseur sur un pic et de lire les coordonnées.

            Vous êtes maintenant en possession des vitesses radiales pour la ou les longitudes étudiées.

 

 

b/ Obtention de la carte de la Voie Lactée

 

 

            Nous voulons mesurer les différentes valeurs de vitesses de chaque spectre. A ce moment, il est judicieux d’ouvrir un tableau EXCEL ou Open Office dans lequel les nombres relevés peuvent être écrits (Vous pouvez aussi exploiter les résultats sans utiliser de tableur, auquel cas allez directement à ***). Vous écrirez dans la première colonne du tableau la longitude galactique à laquelle le spectre a été fait, et dans la seconde, la vitesse que vous mesurez pour chaque valeur. De plus, pour une même longitude, vous devrez écrire autant de ligne qu’il y a de pic sur le spectre. Par exemple, pour la figure 2-1 (l = 45°) :

 

 

l                                   Vr

 

45                                12,777

45                                -20,461

45                                -34,098

45                                -86,869

 

 

 

            Vous devez maintenant rentrer les valeurs de R0 et V0 nécessaires aux calculs. Pour cela, allez dans Insérer, Noms, Définir. Rentrez ensuite dans le champs supérieur R0 puis dans le champs appelé ‘assigné à’, rentrez la valeur de R0. Pour finir, cliquez sur Ajouter et répétez l’opération pour V0. Vous pouvez maintenant utiliser les notations ‘R0’ et ‘V0’ directement dans vos équations.

 

 

 

            Il vous faut maintenant faire calculer à votre tableur les valeurs de R et rA.

Pour ce faire, vous allez devoir rentrer une formule. Votre tableur va alors l’appliquer à toute la colonne et stocker les résultats dans une autre colonne. Nommez une colonne R et écrivez dans la première cellule votre équation (1.4). Vous devrez utiliser les fonctions :

            -SIN() ;

            -PI() ;

 

 

ATTENTION : Pour les application numérique, l’angle l doit être en radian !

 

 

            Vous devez dire à votre tableur dans quelle colonne se trouve l pour le calcul. Par exemple, si vous avez mis vos longitudes dans la colonne A et que votre première cellule est à la troisième ligne, vous devez taper ‘A3’ à la place de ‘l’ dans la formule. (Votre tableur se débrouillera tout seul pour les lignes suivantes !).Ceci est applicable pour chaque référence à la donnée d’une colonne. Enfin, pour appliquer la formule au reste de la colonne, étirez le coin droit inférieur jusqu’à prendre la dernière valeur de la colonne.

            Calculez par le même procédé les solutions du polynôme (1.5). Etant donné qu’il s’agit d’une équation de second degré en r, vous aurez deux solutions. Calculer r+ et r-,puis écrivez les dans deux nouvelles colonnes. Vous aurez besoin des fonctions :

            -SIN() ;

            -COS() ;

            -PI() ;

            -POWER() ;  (si vous voulez la cellule A4², tapez POWER(A4,2))

            -SQRT() ;  (‘square root’ : ‘racine carré’ en anglais)

 

 

*** Important : Il vous faut maintenant écarter certaines valeurs comme nous l’avons expliqué à la fin du chapitre 1). C’est à dire conserver uniquement les valeurs positives (r+) dans le cas où les signes des deux solutions sont opposés. Dans le cas où vous utilisez un tableur, il serait judicieux d’appeler une nouvelle colonne ‘r’ et de stocker les valeurs ‘acceptable’ de r dedans.

 

            Vous avez maintenant les valeurs de l  et de r aptes à être tracées. Nous avons donc un angle et une longueur formant un système de coordonnées polaires centré sur le Soleil. Mais il serait plus simple de travailler dans un repère cartésien XY. Nous allons passer des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes.

 

 

act3-4coorpol 

fig. 2-2 : passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes.

 

 

 

" Exprimez les distances rx et ry en fonction de l et r.

 

 

..........................................................................................................................................

 

..........................................................................................................................................

 

 

            Vous allez mettre ces deux valeurs dans deux colonnes, une pour les abscisses et une pour les ordonnées.

 

 

Remarque : Si vous voulez l’origine (0,0) du repère au centre galactique C, ajoutez R0 à ry.

 

 

            A ce stade, il ne vous reste plus qu’à tracer votre carte de la Voie Lactée.

Si vous utilisez un tableur, commencez par sélectionner les deux colonnes contenant les coordonnées cartésiennes de vos nuages de gaz puis allez dans Insertion, Diagramme et enfin sélectionnez un graphe de points sans lignes entre eux (ceci dépend du tableur que vous utilisez). Vous pouvez ensuite améliorer votre diagramme en lui donnant un titre, en nommant les axes, etc...

            Vous devriez voir apparaître les bras spiraux des deux premiers cadrans galactique.

 

 

act3-5voielacte 

fig. 2-3 : Carte de la Voie Lactée pour une longitude comprise entre 20° et 140° d’après une observation des nuages de gaz H1 avec le radiotélescope SALSA d’ONSALA. Le centre du repère est le centre galactique.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Activité 3 : Correction

 

 

1) Calculs préliminaires :

 

 

" Il s’agit ici d’effectuer une projection de la vitesse V sur la ligne de visée :

     

Vlos = Vcos J

 

" Dans le triangle supérieur, nous voyons que :

 

(90-l) + 90 + c = 180  donc   c = l

 

On a : Vr = Vcos α −V0 sinc et donc en remplaçant c par :

 

                                  Vr = Vcos α −V0 sin l                                                                         (1.1)

 

" L’angle α que V fait avec la ligne de visée peut être calculé à partit du triangle CMT où nous avons :

 

                  a + b + 90 = 180 ; b = 90 – a

 

" La droite CM fait un angle droit avec V. En utilisant l’expression ci-dessus pour l’angle b nous avons :

 

            b +a = 90 ; a = 90 – b = 90 – (90-a) = a ; a = a

 

" Nous voulons maintenant remplacer α par les autres variables. En regardant les triangles CST  et CMT nous trouvons que la distance entre le centre de galaxie (C) et le point tangentiel (T) peut s’exprimer de 2 façons différentes :

 

CT = R0 sin l = R cos a                                            (1.2)                              

 

" En remplaçant l’expression de cos α de (1.2) dans l’équation (1.1) nous obtenons :

 

                                               Vr = V.R0 /R sin l − V 0  sin l                                                (1.3)

 

 

" En remplaçant V par V0 dans l’équation (1.3), on obtient :

 

                                               Vr = V0 sin l ( R0 / R -1)

 

 

" Il suffit simplement d’exprimer R :

 

                                               R = ( R0 V0 sin l ) / ( V0 sin l + Vr)                                     (1.4)

 

" On écrit le théorème d’Al-Kashi dans le triangle CSM :

 

R² = r² + R0² - 2R0 r cos l

 

Ce qui nous donne le polynôme du 2d degré en r :

 

r² - 2R0 r cos l + (R0² - R²) = 0

 

Nous allons maintenant résoudre ce polynôme. On commence par calculer le déterminant :

 

A = 4 R0² cos² l  - 4(R0² -R²)

 

On remarque A > 0, on a donc bien deux solutions qu’on appellera r+ et r-.

 

Calculons r±:

 

= (2 R0 cos l ± 2 sqrt(R0² (cos² l -1) + R²)) / 2

 

or cos² () – 1 = sin² (), donc:

 

                                     = ± sqrt (R² - R0² sin ² l) + R0 cos l                                          (1.5)

 

 

 

" Projection en coordonnées cartésiennes :

 

Centré au Soleil :

 

rx = r sin (l.π /180)

 

ry = -r cos (l.π /180)   

 

 

Centré au centre galactique :

 

rx = r sin (l.π /180)

 

ry = -r cos (l.π /180) + R0